Analyse dynamique des structures. Oscillation libre avec amortissement

Continuez avec ce que vous avez expliqué dans le précédent post à propos de l’oscillation (Analyse dynamique des structures. oscillation libre), Ce serait un mouvement oscillant sans fin, parce que rien ne l’arrête. Cependant, c’est une situation idéale qui, pour des raisons pratiques, nous donne des informations à ce sujet. comportement dynamique du système -L'utilité sera discutée plus tard, mais en réalité, cela ne se produit pas.

En réalité, il apparaît rembourrage. Voyons dans ce post comment ce comportement est décrit.

Oscillation libre avec amortissement

La réalité est que les mouvements oscillatoires, pour diverses questions – frottement, hystérésis, etc. – ont tendance à s’amortir. Autrement dit, le mouvement oscillant a tendance à cesser de progresser avec le temps. Cet effet s'appelle un amorti. Bien que cela puisse prendre différentes expressions, l’accord général est que l’amortissement est une force proportionnelle à la vitesse du système et à la constante de proportionnalité qui régit un tel effort s’il est appelé un coefficient d’amortissement, de manière conventionnelle. remarqué comme c.

Ainsi, dans le jeu de forces précédent du système à oscillateur libre, nous devrons en ajouter un nouveau en fonction du bouleversement. En prenant la même parenthèse que dans le cas précédent, on obtient:Et maintenant, le solde doit être exprimé comme suit:

depuis

je

le équation d'équilibre différentiel avec amortissement du mouvement oscillant sera:

Maintenant, la solution de l'équation différentielle ne peut pas être une fonction harmonique sinusoïdale, car lorsque la première dérivée apparaît, la fonction change et la somme de l'équation n'est pas satisfaite. Dans ce cas, les fonctions qui ne modifient pas leur catégorie dans toutes les dérivées successives sont les puissances du nombre e et la solution de l'équation précédente prend la forme:

où A est l'amplitude du mouvement oscillant i r est une constante. Prenant cette solution:

je

En entrant les expressions précédentes dans (1) on obtient:

L'équation précédente est satisfaite si A = 0, qui est la solution triviale pour laquelle il n'y a pas d'oscillation, c'est-à-dire que le système reste au repos. Comme dans le cas précédent, cette solution n’a aucun intérêt pour notre tâche. La solution non triviale est que la somme contenue dans la parenthèse est nulle, ce qui nous fournira des données sur le comportement dynamique du système. Donc:

le Les données précédentes sont connues, à l'exception de r Et, pour cette raison, il s'agit d'une équation du second degré dans r, qui aura deux solutions:

Dans ce cas, le système pourrait apparemment osciller de deux manières différentes, à moins que le discriminateur de la solution précédente ne soit nul, dans ce cas la solution r serait unique. Si en effet c'est comme ça:

Sur, rappelant que

Donc, la solution est unique si la valeur de c adopte la valeur précédente Ccr, qui est connu sous le nom de tampon critique, une dénomination qui sera comprise plus tard. Par conséquent oui c = Ccr

il reste donc que la loi du déplacement est, en remplaçant (2):

Si nous considérons que l'exposant est négatif, il arrivera qu'avec le temps le déplacement diminuera. Initialement, avec t = 0, u (0) = A, mais à partir de ce moment, il arrivera que u (t) <A. En effet, le voyage ralentit et à chaque fois il est de moindre amplitude. Encore plus, set nous représentons la fonction de l'équation (4) et ses deux premiers dérivés -v et un-, nous obtenons:

où nous observons que De plus, la vitesse et l'accélération diminuent avec le temps, Jusqu’à atteindre le système au repos complet dans un temps infini. Mais, en plus, le mouvement n'est pas onduléMais diminue simplement en amplitude mais sans changer de signe, c’est-à-dire sans osciller autour du point de repos. Donc, lorsque l'amortissement est critique (c = Ccr), le mouvement n'oscille pas et tend irrémédiablement au repos.

Revenons à la solution générale dans ce qu'il avait Deux racines différentes, r1 et r2Qu'est-ce qui amène ça alors. Bien connu, il existe une valeur critique du coefficient d’amortissement, que nous avons appelé ccr, et c'est quoi une propriété du système, Comme il dépend de paramètres identiques, indépendamment de sa déformation, il définit leoe général suffisant c en proportion de CcrAlors que

Si nous remplaçons (5) à (3), obtenons:

Connu pour la valeur des deux racines et considérant maintenant que le mouvement doit nécessairement chevaucher deux amplitudes différentes A et B, nous obtiendrons:

que serait-ce Expression du mouvement oscillant avec amortissement relatif Ω. Nous allons maintenant trouver, pour le cas général, qu'il peut y avoir deux cas dans: Ω<1 -amortiguamiento subcrítico- y Ω>Excruciation 1-supercritique– Le second cas, qui ne se produit pas dans les constructions, suppose que l’amortissement du système est encore plus grand que celui qui, par lui-même, amortit déjà le déplacement en amenant le système au repos sans oscillation, raison pour laquelle Dans ce cas, le système revient également au repos sans oscillation, mais en diminuant les variables cinématiques -o (t), il est venu plus tard que dans le cas strict de la mise en mémoire tampon critique. Par conséquent, nous adhérons au premier cas mentionné, celui de Mise en mémoire tampon sous-critique (Ω <1). Dans ces conditions, la racine de l'équation (6) contient alors des termes négatifs, ce qui conduit au domaine des nombres imaginaires et complexes. En se rappelant qu'il s'agit de la racine au moins 1, (6) ressemblerait à ceci:

Se rappeler Euler est égal pour des nombres imaginaires et complexes, et crier Fréquence angulaire du système amorti à:

(7) reste en tant que:

Donc cLorsque la mise en mémoire tampon sous-critique du système a un comportement ondulé, l'amplitude décroît avec le temps.. Par conséquent, avec le système sous-critique drastique Il aura tendance à se reposer dans un temps infini, mais en oscillant autour du point de repos chaque fois avec moins d'amplitude. Voyons que, de plus, la fréquence angulaire du système amorti est une valeur qui dépend de la fréquence angulaire du système lui-même en oscillation libre et du facteur d’amortissement, de sorte que C'est une propriété du système amorti. En accord avec cela, la période du système amorti, T & # 39;Ce sera:

Il convient de noter que la fréquence angulaire du système amorti sera toujours inférieure à celle du système à oscillation libre et que sa période sera toujours supérieure à celle du système en oscillation libre. Donc, un système amorti oscille toujours plus lentement qu'un système à oscillation libre. La représentation graphique de (8) est une explication de tout ce qui a été dit:

Maintenant, nous ne pouvons plus dire, dans un système coussiné, quoi la période C'est le temps qu'il faut pour répéter le même état d'excitation, mais plutôt C'est le temps qui passe entre deux états d'amplitude maximale du déplacement du même signe. Notez que les maximums d’amplitude sont limités précisément par la courbe définissant le déplacement de la mise en mémoire tampon critique, de sorte que l’oscillation du système d’amortissement sous-critique est toujours limitée au-dessus de système avec amortissement critique. Enfin, on constate que le mouvement est réellement ondulé et tend à se terminer sans fin.

En dernier recours, nous devons également tenir compte du fait que lLes paramètres dynamiques du système libre conditionnent le système amorti. C'est, lLes propriétés inhérentes au système libre demeurent, mais sont altérées par le degré d’amortissement de cela.


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